道阻且长

经典趣味数学—穿越沙漠
沙漠气候条件极其恶劣，缺少水或动植物，穿越沙漠成为人类探险的最为艰苦的活动之一，数学趣题也因此和穿越沙漠挂上了钩。
一、问题的表述
穿越沙漠是一类趣味数学问题的总称。这个问题流行着多种版本，已很难追踪溯源了。在这里给出几种典型的表述：
（1）沙漠汽车。一辆汽车独自要穿越600公里的沙漠。已知汽车油箱只能装45升油，行走450公里。问汽车怎样行驶才能穿越沙漠，而且用最少的油？
（2）沙漠科考。一个科学家进行一次沙漠科考探险，需要5天。他一次只能带4天的给养。 科学家要独自完成科考，应该怎样安排行程，并使得总的给养消耗最少？
（3）沙漠骆驼。一个商人骑一头骆驼（毛驴，骡子）要穿越1000公里长的沙漠，去卖 3000根胡萝卜。已知骆驼一次性可驮1000根胡萝卜，但每走一公里又要吃掉一根胡萝卜。商人最多可卖出多少胡萝卜？
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100个人回答五道试题，有81人答对第一题，91人答对第二题，85人答对第三题，79人答对第四题，74人答对第五题，答对三道题或三道题以上的人算及格，那么，在这100人中，至少有（ ）人及格。

100-(500-81-91-85-79-74)/3=70
道理就是:至少多少人及格等于至多多少人不及格，总共错了90(19+9+15+21+26)道题目,把90道错题进行资源的最大化利用,因为只有错3题或3题以上才不及格,因此,为了使不及格的人最多(及格人数最少),那么就看90道错题怎么分配,才能让更多的人人错3题或3题以上.显然,平均分给30人,这样30人都是各错3题.30人不及格!70人及格!而一但有人错多了,那么必然有人错少了,而这个少错的人只能错1或2题,他是符合及格条件的!因此,如果有人错3题以上,那么不及格人数就会少于30!相应地,会有超过70人成绩及格!

10箱黄金，每箱100块，每块一两，有贪官，把某一箱的每块都磨去一钱，请称一次找到不足量的那个箱子。
10个箱子编上号，分别为1～10号。 1号箱取一块，2号箱取2块，3号箱取3块，依此类推…… 共取出55块黄金，放在一起称量一次，正常情况下应该是55两。如果少一钱，说明贪的是1号箱，如果少两钱，说明贪的是2号箱，如果少三钱，说明贪的是3号箱,依此类推……

有十瓶药，每瓶里都装有100片药（仿佛现在装一百片的少了，都是十片二十片的，不管，咱们就这么来了），其中有八瓶里的药每片重10克，另有两瓶里的药每片重9克。用一个蛮精确的小秤，只称一次，如何找出份量较轻的那两个药瓶？
第一个瓶可拿出1片，第二个拿2片，第三个拿3片，但第四个不能拿4片，因为如果结果缺了5克的话，你就不知道是缺了2+3还是1+4。所以第四个应拿5片，第五个应拿8片，。。。。

你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量＋1.只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？
1号罐取1丸，2号罐取2丸，3号罐取3丸，4号罐取4丸，称量该10个药丸，比正 常重量重几就是几号罐的药有问题。

对一批编号为1～100，全部开关朝上(开)的灯进行以下操作：凡是1的倍数反方向拨一次开关；2的倍数反方向又拨一次开关；3的倍数反方向又拨一次开关……问：最后为关熄状态的灯的编号。
对一批编号为1-100，全部开关朝上（开）的灯进行以下操作：凡是1的倍数反方向拨一次开关；2的倍数反方向又拨一次开关；3的倍数反方向又拨一次开关……问：最后为关熄状态的灯的编号是哪些？若实际操作求解会相当繁琐。我们知道，就某个亮着的灯而言，如果拨其开关的次数是奇数次，那么，结果它一定是关着的。根据题意可知，号码为N的灯，拨开关的次数等于N的约数的个数，约数个数是奇数，则N一定是平方数。因为10=100，可知100以内共有10个平方数，即，最后关熄状态的灯共有10盏，编号为1、4、9、16、25、36、49、64、81、100

假设排列着100个乒乓球，由两个人轮流拿球装入口袋，能拿到第100个乒乓球的人为胜利者。条件是：每次拿球者至少要拿1个，但最多不能超过5个，问：如果你是最先拿球的人，你该拿几个？以后怎么拿就能保证你能得到第100个乒乓球？
先拿4个。
然后对方如果拿1到5个我就拿5到1个。于是无论如何剩下的球数为6n，n逐次少1，最后剩6个的时候恰好是我拿完，此时必胜。

一个岔路口分别通向诚实国和说谎国。来了两个人，已知一个是诚实国的，另一个是说谎国的。诚实国永远说实话，说谎国永远说谎话。现在你要去说谎国，但不知道应该走哪条路，需要问这两个人。请问应该怎么问？
问“你的国家怎么走?” 他们都会指向诚实国

一群人开舞会，每人头上都戴着一顶帽子。帽子只有黑白两种，黑的至少有一顶。每个人都能看到其它人帽子的颜色，却看不到自己的。主持人先让大家看看别人头上戴的是什幺帽子，然后关灯，如果有人认为自己戴的是黑帽子，就打自己一个耳光。第一次关灯，没有声音。于是再开灯，大家再看一遍，关灯时仍然鸦雀无声。一直到第三次关灯，才有劈劈啪啪打耳光的声音响起。问有多少人戴着黑帽子？
解答：
如果有一顶黑帽子，那么第一次关灯就会打自己，因为他看那别人都是白的，自己肯定黑的。
如果有2顶黑帽子，那么第二次关灯就会打自己，因为他看到别人只有一顶黑帽子，然而根据上面的推论，如果只有一顶黑帽子，则第一次就会打自己，所以自己也是黑帽子。
如果有3顶黑帽子，那么第三次关灯就会打自己，道理同上。
如果有n顶黑帽子，那么第n次关灯会打自己，数学归纳法。

在一天的24小时之中，时钟的时针、分针和秒针完全重合在一起的时候有几次？都分别是什么时间？你怎样算出来的
不用算 ，一个小时一次，十二个小时十二次不同位置，二十四个小时二十四次，相同位置各重复一次。
这个答案对吗？要求的是三针重合而不是分针和时针两个重合啊。

共有三类药,分别重1g,2g,3g,放到若干个瓶子中,现在能确定每个瓶子中只有其中一种药,且每瓶中的药片足够多,能只称一次就知道各个瓶子中都是盛的哪类药吗 如果有4类药呢 5类呢 N类呢(N可数) 如果是共有m个瓶子盛着n类药呢(m,n为正整数,药的质量各不相同但各种药的质量已知) 你能只称一次就知道每瓶的药是什么吗 （注:当然是有代价的,称过的药我们就不用了）
第一个瓶子拿出一片,第二个瓶子拿出四片,第三个拿出十六片,……第m个拿出n+1的m-1次方片.把所有这些药片放在一起称重量.

假设有一个池塘，里面有无穷多的水。现有2个空水壶，容积分别为5升和6升。问题是如何只用这2个水壶从池塘里取得3升的水。
3 = 6 - ( 5 - ( 6 - ( 5 - ( 6 - 5 ) ) ) );

有7克、2克砝码各一个，天平一只，如何只用这些物品三次将140克的盐分成50、90克各一份？
140-->70/70
70--->35/35
然后利用 2 克砝码和 7 克砝码将 35 克拆分为 20 克和 15 克。然后
70+20=90
35+15=50

有三个桶，两个大的可装8斤的水，一个小的可装3斤的水，现在有16斤水装满了两大桶就是8斤的桶，小桶空着，如何把这16斤水分给4个人，每人4斤。没有其他任何工具，4人自备容器，分出去的水不可再要回来。
表示为880，接下来，将一个大桶的水倒入小桶中，倒满，表示为853，（第2个大桶减3，小桶加3）则过程如下：
880——853：将3斤给第1个人，变为850（现在4人分别有水3-0-0-0）
850——823：将2斤给第2个人，变为803（这时4人分别有水3-2-0-0）
803——830——533——560——263——281：将1斤给第1个人，变为280（此时4人分别有水4-2-0-0）
280——253——703——730——433——460——163：将1斤给第3个人，变为063（此时4人分别有水4-2-1-0）
063——081：将1斤给第4个人，变为080（这下4人分别有水4-2-1-1）
080——053——350——323：将2斤给第2个人，将2个3斤分别给第3、4个人，（这时4人分别有水4-4-4-4）。。。

一间囚房里关押着两个犯人。每天监狱都会为这间囚房提供一罐汤，让这两个犯人自己来分。起初，这两个 人经常会发生争执，因为他们总是有人认为对方的汤比自己的多。后来他们找到了一个两全其美的办法：一个人分汤，让另一个人先选。于是争端就这么解决了。可 是，现在这间囚房里又加进来一个新犯人，现在是三个人来分汤。必须寻找一个新的方法来维持他们之间的和平。该怎么办呢？
一人分后，有另两人选出两碗（即选出他们认为最少的一碗给分汤的人），那两碗再有其中一人分，另一人选。

一楼到十楼的每层电梯门口都放着一颗钻石，钻石大小不一。你乘坐电梯从一楼到十楼，每层楼电梯门都会打开一次，只能拿一次钻石，问怎样才能拿到最大的一颗？
选取 k ,舍弃前 k 个钻石，从第 k + 1 颗起，遇到历史最大的就取之，否则，取最后一颗钻石。

有23枚硬币在桌上，10枚正面朝上。假设别人蒙住你的眼睛，而你的手又摸不出硬币的
反正面。让你用最好的方法把这些硬币分成两堆，每堆正面朝上的硬币个数相同。
将其分为一堆10个、另一堆13个，然后将10个那一堆所有的硬币翻转就可以了。
注意人家没说每堆向上的硬币个数都是 5 个。